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Vint-i-sisè repte matemàtic de El País: Construint superfícies

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María Pe Pereira, doctora en Matemàtiques per la Universitat Complutense de Madrid i becada posdoctoral de CajaMadrid a l’Institut de Mathématiques de Jussieu de París, presenta el vint-i-sisè repte matemàtic amb els quals El País commemora el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) .

Les respostes s’han d’enviar abans de les 00:00 hores de dimarts 13 de setembre a problemamatematicas@gmail.com.

Enunciat:

El desafío de esta semana consiste en describir qué superficie se obtiene pegando los lados del mismo color de la figura plana que se muestra en el vídeo (ver aquí la imagen ampliada). Al pegar cada pareja de lados (los rojos, los azules,…etc) el sentido de las flecha debe coincidir; la circunferencia verde tiene que pegarse con la arista verde identificando el punto señalado en la circunferencia con los extremos de la arista; además suponemos que la figura está hecha de un material que podemos deformar todo lo que queramos (¡siempre y cuando no lo rompamos!).

Puesto que el material del que está hecha la figura es totalmente deformable, podríamos construir muchas superficies distintas, algunas de ellas muy difíciles de describir, pero habrá una que será la más simple de todas. Veamos un estudio matemático de mediados del siglo XIX que puede ayudar a dar con la solución.

Las superficies se clasifican en superficies con bordes, como el cilindro o la banda de Moebius, y en superficies sin bordes, como la esfera o un flotador.

Los matemáticos del siglo XIX demostraron que cualquier superficie de una sola pieza, sin bordes, que no sea infinita (un ejemplo de superficie infinita sin bordes es un plano infinito) y que se pueda construir sin problemas en nuestro espacio tridimensional (sin cortarse a sí misma) se puede deformar, sin romperse, en una de las siguientes superficies: o en una esfera, o en un flotador, o en un flotador para 2 personas, o en un flotador para algún número finito de personas con un agujero para cada persona.

En cuanto a las superficies con bordes, siempre se podrán deformar en una de las anteriores -la esfera, el flotador…- a la que se le ha recortado una cantidad finita de discos. Así por ejemplo, un pantalón se puede deformar a una esfera a la que le recortamos 3 discos.

Por tanto, pegando -sin retorcer innecesariamente- los lados del mismo color de la figura de tal manera que el sentido de las flechas coincida y deformándolo todo lo que sea necesario -se puede estirar, contraer…- se puede conseguir exáctamente una de las superficies modelo que acabamos de enumerar. La pregunta es: ¿cuál es esa superficie?

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