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Trenta-quatrè repte matemàtic de El País: Dos cuquets i una oreneta voraç

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Vadym Paziy, estudiant de Doctorat del Grup de Física Nuclear de la Universitat Complutense de Madrid i antic guia de la Olimpíada Matemàtica Internacional, celebrada el 2008 a Madrid, presenta el trenta-quatrè repte amb el qual El País celebra el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Cal enviar les respostes abans de les 00:00 de dimarts 8 de novembre problemamatematicas@gmail.com. Entre els encertants se sortejarà una biblioteca matemàtica completa.

Enunciat

Dos hermanos gusanitos de seda han discutido quién de los dos llega antes a casa desde un punto que está en la base de una colina. La colina tiene forma de cono recto con una base circular de 1 metro de radio y una ladera de longitud 2 metros, como se muestra en este dibujo. La casa se encuentra en el punto diametralmente opuesto a aquel en el que se encuentran los gusanitos. Uno de los gusanitos es más astuto y sabe calcular el camino más corto, mientras que su hermano es más alegre y escoge el primer camino que encuentra, la base del cono.

Sin embargo, ninguno de los dos sabe que en su casa les está esperando una golondrina muerta de hambre que se comerá al primero que llegué. En el instante que el gusanito alegre echa a andar el astuto se pone a calcular la trayectoria óptima, en lo que emplea exactamente 3 minutos. Una vez la tiene empieza su camino. Suponiendo que los dos gusanos se desplazan con la misma velocidad de 1 mm/s, el desafío consiste en determinar quién será la víctima de la golondrina ¿el gusanito alegre o el gusanito astuto?

Para que la respuesta sea considerada correcta habrá que indicar no sólo el gusanito-víctima, sino también los cálculos que han llevado a la conclusión.

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