Blog de la Biblioteca de Matemàtiques i Informàtica


Deixa un comentari

Kurt Gödel: De la incompletabilitat de les matemàtiques a la cerca de nous axiomes

Kurt Gödel (1906-1978)Dimecres 15 de maig se celebrarà a la seu de l’Institut d’Estudis Catalans (IEC) la I Jornada del Grup de Lògica i Filosofia de la Ciència. Kurt Gödel: De la incompletabilitat de les matemàtiques a la cerca de nous axiomes. L’acte constarà de dues conferències, seguides ambdues d’un torn obert de paraules.

Resum:Començarem la nostra conferència donant una breu informació sobre el programa de Hilbert i la seva relació amb la veritat matemàtica. A continuació explicarem la dualitat que plantegen aparentment els teoremes de completesa i incompletesa de Gödel, tot posantlos en relació amb els tres problemes de Hilbert lligats a la lògica. Ja posats en l’anàlisi dels teoremes d’incompletesa de Gödel, explicarem amb un cert aprofundiment els tres llenguatges involucrats en l’entrellat de la demostració del teorema d’incompletesa de Gödel. Finalment, aprofitant que estem celebrant encara l’any Turing, ens farem ressò del lligam entre Gödel i Turing, parlarem de “la indecidibilitat algorísmica” i donarem una breu notícia sobre el problema P≠NP.
Resum: Una conseqüència dels teoremes d’incompletesa de Gödel és que qualsevol axiomatització consistent de la matemàtica és incompleta, la qual cosa vol dir que sempre hi hauran veritats matemàtiques que no es podran deduir dels axiomes. En particular, l’axiomatització estàndard de la matemàtica, els axiomes de Zermelo Fraenkel amb l’axioma d’elecció, o ZFC, no és suficient per a demostrar o refutar qualsevol qüestió matemàtica que es plantegi. De fet, ZFC no pot donar resposta a moltes qüestions matemàtiques fonamentals, com per exemple la Hipòtesi del Continu, la Hipòtesi de Suslin, o el problema de la mesura. Gödel mateix va proposar un programa de cerca de nous axiomes que permetessin donar resposta a aquestes i altres qüestions semblants. Aquest programa, desenvolupat per la teoria de conjunts, ha produït teories matemàtiques de gran bellesa i sofisticació tècnica, com ara la teoria de grans cardinals o el “forcing”, i ha donat lloc a resultats espectaculars, tant des del punt de vista matemàtic com per les seves implicacions filosòfiques. En la meva conferència presentaré alguns d’aquests resultats i discutiré la seva importància pel que fa als fonaments i la filosofia de la matemàtica.

Organitza la jornada el Grup de Lògica i Filosofia de la Ciència de la Societat Catalana de Filosofia, amb la col·laboració amb la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM).

Més informació: Programa complet (pdf)


Deixa un comentari

Alguns vincles entre els teoremes de Gödel i Turing

Josep Pla i Carrera

Josep Pla i Carrera

El passat 7 de febrer, Josep Pla i Carrera, professor emèrit del Departament de Probabilitat, Lògica i Estadística de la Universitat de Barcelona (UB), publicava un article al bloc col·lectiu El año de Turnig del diari El País, amb el títol Algunos vínculos entre los teoremas de Gödel y Turing.

Partint de l’obra de David Hilbert (1862-1943), el Doctor Pla estableix diversos vincles entre els treballs de Kurt Gödel (1906-1978) i els d’Alan Turing (1912-1954).

Hemos relacionado, pues, Turing con Hilbert.

Pero, ¿qué lo vincula con Gödel? La respuesta nos las dan las ‘funciones recursivas [parciales]’. Una máquina de Turing calcula las funciones recursivas y sólo éstas. Este es un vínculo muy estrecho entre algunos de los conceptos introducidos por Gödel y algunos de los conceptos introducidos por Turing que justifican, creo, que en 1963 Gödel añadiera un apéndice al artículo de su teorema de 1931 afirmando que las aportaciones de Turing permitían “una definición precisa e indudablemente adecuada de la noción general de sistema formal de los teoremas vi y xi”.

Pla i Carrera, Josep. Algunos vínculos entre los teoremas de Gödel y Turing.

Josep Pla ha publicat molt recentment El teorema de Gödel. Un análisis de la verdad matemática, un llibre editat per la Real Sociedad Matemática Española (RSME), que es divideix en tres parts. En la primera, Pla ofereix una aproximació a l’epistemologia de la matemàtica, centrant-se en el problema de la veritat en matemàtiques. En la segona part, de caràcter més tècnic, aborda la demostració dels teoremes d’incompletesa de Gödel. En la darrera part hi analitza les conseqüències dels teoremes del matemàtic austríac. El llibre permet dues lectures: la del lector que busqui un text divulgatiu sobre l’obra de Gödel i la de l’especialista que vulgui una aproximació rigorosa als seus teoremes.