Blog de la Biblioteca de Matemàtiques i Informàtica


Deixa un comentari

Kurt Gödel: De la incompletabilitat de les matemàtiques a la cerca de nous axiomes

Kurt Gödel (1906-1978)Dimecres 15 de maig se celebrarà a la seu de l’Institut d’Estudis Catalans (IEC) la I Jornada del Grup de Lògica i Filosofia de la Ciència. Kurt Gödel: De la incompletabilitat de les matemàtiques a la cerca de nous axiomes. L’acte constarà de dues conferències, seguides ambdues d’un torn obert de paraules.

Resum:Començarem la nostra conferència donant una breu informació sobre el programa de Hilbert i la seva relació amb la veritat matemàtica. A continuació explicarem la dualitat que plantegen aparentment els teoremes de completesa i incompletesa de Gödel, tot posantlos en relació amb els tres problemes de Hilbert lligats a la lògica. Ja posats en l’anàlisi dels teoremes d’incompletesa de Gödel, explicarem amb un cert aprofundiment els tres llenguatges involucrats en l’entrellat de la demostració del teorema d’incompletesa de Gödel. Finalment, aprofitant que estem celebrant encara l’any Turing, ens farem ressò del lligam entre Gödel i Turing, parlarem de “la indecidibilitat algorísmica” i donarem una breu notícia sobre el problema P≠NP.
Resum: Una conseqüència dels teoremes d’incompletesa de Gödel és que qualsevol axiomatització consistent de la matemàtica és incompleta, la qual cosa vol dir que sempre hi hauran veritats matemàtiques que no es podran deduir dels axiomes. En particular, l’axiomatització estàndard de la matemàtica, els axiomes de Zermelo Fraenkel amb l’axioma d’elecció, o ZFC, no és suficient per a demostrar o refutar qualsevol qüestió matemàtica que es plantegi. De fet, ZFC no pot donar resposta a moltes qüestions matemàtiques fonamentals, com per exemple la Hipòtesi del Continu, la Hipòtesi de Suslin, o el problema de la mesura. Gödel mateix va proposar un programa de cerca de nous axiomes que permetessin donar resposta a aquestes i altres qüestions semblants. Aquest programa, desenvolupat per la teoria de conjunts, ha produït teories matemàtiques de gran bellesa i sofisticació tècnica, com ara la teoria de grans cardinals o el “forcing”, i ha donat lloc a resultats espectaculars, tant des del punt de vista matemàtic com per les seves implicacions filosòfiques. En la meva conferència presentaré alguns d’aquests resultats i discutiré la seva importància pel que fa als fonaments i la filosofia de la matemàtica.

Organitza la jornada el Grup de Lògica i Filosofia de la Ciència de la Societat Catalana de Filosofia, amb la col·laboració amb la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM).

Més informació: Programa complet (pdf)


Deixa un comentari

Disponibles en vídeo les conferències de la Jornada Galois

Jornada Curs Galois

Bibliotècnica, la Biblioteca Digital de la UPC, informava la setmana passada de la disponibilitat en vídeo de les conferències pronunciades el 6 de març en el marc de la Jornada Galois, en la qual van participar dos professors de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona,  Luis V. Dieulefait i Josep Pla i Carrera.

Apunts relacionats:


1 comentari

Jornada curs Galois a la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la UPC

Jornada Curs GaloisEl dia 6 de març, a les 10 del matí, se celebrarà a la sala d’actes de la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), la Jornada Curs Galois.

Programa

  • 10:00. Grupos de Galois lineales provenientes de la geometría.

    A càrrec de Luis V. Dieulefait, Departament d’Àlgebra i Geometria de la Facultat de Matemàtiques de la UB.

    Por definición, los elementos del grupo de Galois de un cuerpo de números K que es Galois sobre Q permutan las raíces de un polinomio que genera K. En esta charla mostraremos otros objetos geométricos, comenzando por un círculo de radio 1, tales que para algunos de sus puntos a coordenadas algebraicas vemos de manera natural (casi tautológica) como son permutados por un grupo de Galois. De esta forma nos sumergiremos en las “representaciones de Galois” asociadas a curvas elípticas y a otros objetos geométricos, culminando con un caso que tan sólo podremos enunciar sin llegar a comprender de donde proviene: el de las formas modulares y las representaciones de Galois asociadas.
    En una visión global, estos temas forman parte de un programa forjado por varios matemáticos a lo largo del siglo XX (principalmente por Langlands) que pretende explicar buena parte de los misterios de la teoría de Galois a través de esta visión geométrica y modular (buena parte de este programa es aun conjetural).

  • 11:30. Lectura de la Memòria sobre la resolubilitat de les equacions per radicals.

    A càrrec de Josep Pla i Carrera, professor emèrit del Departament de Probabilitat, Lògica i Estadística de Facultat de Matemàtiques de la UB i Magister Honoris Causa de l’FME.

    Com introdueix Galois el concepte de “grup” en la Memòria sobre la resolubilitat de les equacions per radicals, i quines eines teòriques calen per establir de forma acurada la validesa de les seves afirmacions, en base a un dels seus resultats.

  • 12.30. El Problema Invers de la Teoria de Galois

    A càrrec de Bernat Plans, Departament de Matemàtica Aplicada 1 de la UPC.

    La Teoria de Galois va néixer, ara fa gairebé dos-cents anys, amb els resultats d’Évariste Galois sobre la caracterització de les equacions algebraiques que són resolubles per radicals. La importància cabdal dels treballs de Galois no es troba en els resultats que obté sobre aquest problema concret, sinó en la generalitat i aplicabilitat de les idees que introdueix. En el cor d’aquestes idees hi ha el concepte de grup de Galois d’un polinomi (separable) amb coeficients racionals. Es tracta d’un grup finit en el qual es reflecteixen propietats del polinomi com, per exemple, la resolubiltat per radicals de l’equació corresponent. Un cop plantejada aquesta assignació que associa un grup finit a cada polinomi, és natural preguntar-se quins grups finits s’obtenen per aquest procediment. La qüestió de si tot grup finit és grup de Galois d’algun polinomi amb coeficients racionals és l’anomenat Problema Invers de la Teoria de Galois (sobre el cos dels racionals). Aquest problema segueix obert des que David Hilbert va plantejar-lo, aparentment per primer cop, a finals del segle XIX.

    L’objectiu d’aquesta xerrada és comentar algunes contribucions significatives al Problema Invers de la Teoria de Galois.

Al final de la jornada es lliurarà a tots els assistents un exemplar del llibre Damunt les espatlles dels gegants de Josep Pla.

Font: Creamat


Deixa un comentari

Alguns vincles entre els teoremes de Gödel i Turing

Josep Pla i Carrera

Josep Pla i Carrera

El passat 7 de febrer, Josep Pla i Carrera, professor emèrit del Departament de Probabilitat, Lògica i Estadística de la Universitat de Barcelona (UB), publicava un article al bloc col·lectiu El año de Turnig del diari El País, amb el títol Algunos vínculos entre los teoremas de Gödel y Turing.

Partint de l’obra de David Hilbert (1862-1943), el Doctor Pla estableix diversos vincles entre els treballs de Kurt Gödel (1906-1978) i els d’Alan Turing (1912-1954).

Hemos relacionado, pues, Turing con Hilbert.

Pero, ¿qué lo vincula con Gödel? La respuesta nos las dan las ‘funciones recursivas [parciales]’. Una máquina de Turing calcula las funciones recursivas y sólo éstas. Este es un vínculo muy estrecho entre algunos de los conceptos introducidos por Gödel y algunos de los conceptos introducidos por Turing que justifican, creo, que en 1963 Gödel añadiera un apéndice al artículo de su teorema de 1931 afirmando que las aportaciones de Turing permitían “una definición precisa e indudablemente adecuada de la noción general de sistema formal de los teoremas vi y xi”.

Pla i Carrera, Josep. Algunos vínculos entre los teoremas de Gödel y Turing.

Josep Pla ha publicat molt recentment El teorema de Gödel. Un análisis de la verdad matemática, un llibre editat per la Real Sociedad Matemática Española (RSME), que es divideix en tres parts. En la primera, Pla ofereix una aproximació a l’epistemologia de la matemàtica, centrant-se en el problema de la veritat en matemàtiques. En la segona part, de caràcter més tècnic, aborda la demostració dels teoremes d’incompletesa de Gödel. En la darrera part hi analitza les conseqüències dels teoremes del matemàtic austríac. El llibre permet dues lectures: la del lector que busqui un text divulgatiu sobre l’obra de Gödel i la de l’especialista que vulgui una aproximació rigorosa als seus teoremes.


Deixa un comentari

Clausurat el congrés de la RSME a Santiago

Real Sociedad Matemática EspañolaDivendres passat es va clausurar el Congrés biennal de la Real Sociedad Matemática Española (RSME), celebrat a Santiago de Compostela del 21 al 25 de gener, amb un notable èxit de participació: més de 350 inscripcions i més de 200 conferències. En una de les conferències, la que més ha transcendit, Carl Cowen, professor emèrit de la Universitat de Purdue i Eva Gallardo, professora de la Universidad Complutense de Madrid (UCM,) van presentar una solució afirmativa al problema del subespai invariant, plantejat els anys 30 per John von Neumann.

En paraules de Gallardo, “si gires una pilota, sempre gira sobre un eix. I estem en dimensió finita, on sempre hi ha un subespai invariant per a quelcom que és un operador lineal. En dimensió infinita, el problema estava obert. El que hem resolt és que en dimensió infinita en un espai de Hilbert sempre hi ha un subespai invariant no trivial per a tot operador que sigui lineal i continu”.

Eva Gallardo i Carl Cowen

Eva Gallardo i Carl Cowen

Durant la sessió inaugural, i després dels parlaments dels membres de la mesa presidencial i de la conferència d’obertura, a càrrec d’Alfredo Bermúdez de Castro, es va concedir el premi José Luis Rubio de Francia 2011 a Alberto Enciso Carrasco.

L’endemà, el dia 22, es va celebrar la Junta General de la RSME, durant la qual es va aprovar el Pla General de la RSME (pdf) per als anys 2013-2018 (resum, pdf) i també l’adhesió de la Societat al Codi de Bones Pràctiques (pdf) de la European Mathematical Society (EMS). El mateix dia es va fallar el premi BBVA Fronteras del Conocimiento en ciències bàsiques, que va recaure en Ingrid Daubechies i David Mumford, pels seus «treballs en teoria matemàtica, que han tingut una gran influència en camps variats d’aplicació, des de la compressió de dades fins al reconeixement de patrons».

El teorema de GödelEl dia 23, Josep Pla i Carrera, professor emèrit de la Universitat de Barcelona (UB), va presentar el seu últim llibre El teorema de Gödel, un análisis de la verdad matemática, editat per la RSME com a contribució a la commemoració de l’Any Turing.

Més informació:

Font: Real Sociedad Matemática Española


13 comentaris

Exposició virtual per commemorar el centenari de Ferran Sunyer i Balaguer

Enguany es commemora a Catalunya el centenari del naixement del matemàtic figuerenc Ferran Sunyer i Balaguer (1912-1967). La Fundació Ferran Sunyer i Balaguer ha organitzat diverses activitats per retre-li homenatge, tant per la seva activitat matemàtica com pels valors de superació i lluita davant de les adversitats, que la seva vida representa.

El CRAI Biblioteca de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona se suma a aquesta iniciativa, oferint-vos un petit homenatge amb la intenció d’ajudar a recordar el matemàtic català i, alhora, facilitar recursos per poder aprofundir en la seva figura i, sobretot, en la seva obra.

Agraïm la col·laboració del Doctor Josep Pla i Carrera, que ha redactat la presentació, i també de la Fundació Ferran Sunyer i Balaguer, que ens ha facilitat la majoria d’imatges que hem utilitzat per il·lustrar aquesta mostra.

Apunts relacionats:


Deixa un comentari

Activitats d’estiu: Matemàtiques d’arrel no grega i l’ensenyament de la matemàtica

En el marc de Els Juliols de la UB, enguany s’ha programat el curs Matemàtiques d’arrel no grega i l’ensenyament de la matemàtica, coordinat per Josep Pla i Carrera, professor emèrit del Departament de Probabilitat, Lògica i Estadística de la Universitat de Barcelona.

Contingut

Originada com una ciència pràctica per facilitar el còmput del calendari, l’administració de les collites, l’organització dels treballs públics i el cobrament dels impostos, la matemàtica oriental neix sobre la base de l’aritmètica pràctica i la medició. A diferència de la matemàtica occidental, hereva de la tradició racional i racionalitzadora grega, la matemàtica oriental és molt menys teòrica, i ofereix tècniques numèriques, geomètriques i algèbriques molt més idònies –o, en qualsevol cas, complementàries– que les pròpies de la matemàtica occidental, que poden ser d’una gran utilitat en la presentació de temes i problemes concrets a l’aula. Seguint la línia de la metodologia dels contextos, plantejada per Víctor Katz, aquest curs pretén fer una aproximació a alguns ítems de la matemàtica d’arrel no grega —mesopotàmica, egípcia, índia, xinesa, japonesa i àrab—, enfocada cap a l’estructuració docent.

El curs es realitzarà entre el 5 i el 9 de juliol de 9:30 a 14:00 a l’Edifici històric de la UB [localització].

Més informació:

Comparteix l'entrada