Blog de la Biblioteca de Matemàtiques i Informàtica


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Sobre la utilitat directa de les matemàtiques

Gaussianos, un dels blocs que seguim habitualment, publicava el dia 19 de setembre un article del seu editor, Miguel Ángel Morales Medina (^DiAmOnD^), sobre la pregunta recurrent que apareix sovint en converses sobre matemàtiques: això per a què serveix?

A banda d’explicar amb exemples concrets diverses utilitats i aplicacions de les Matemàtiques, l’article incideix en altres aspectes que de vegades no es tenen en compte i que cal recordar. Per exemple, que no cal tenir a l’horitzó una aplicació pràctica per justificar una recerca: el desenvolupament del coneixement humà, l’afany de saber, la justifiquen per si sola. O que només per la seva bellesa —com en el món de l’art, la literatura, o la música—, ja paga la pena dedicar-s’hi. O que més enllà dels continguts, les matemàtiques ens ajuden a desenvolupar la capacitat de raonament lògic i de comprensió.

Por otra parte, no es menos evidente que dentro de la investigación matemática actual se avanza en muchas ocasiones por caminos en los que no se vislumbra, en principio, ninguna aplicación práctica de dicha investigación. ¿Deberíamos abandonar dichos estudios por esta razón? ¿Tiene que haber alguna aplicación práctica en el horizonte para justificar y promover la investigación? Rotundamente no. Aunque el propio desarrollo del conocimiento humano fuera la única razón de ser de estos estudios, ello sería suficiente para continuar con ellos. Pero hay más. La historia de las matemáticas está repleta de investigaciones que en principio se desarrollaron de forma teórica, sin aplicaciones conocidas, pero que con el tiempo se mostraron tremendamente útiles en la práctica.

Una reflexió interessant per contribuir a l’etern debat.


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Gaussianos: la conjectura de Casas Alvero

Eduard Casas Alvero

Gaussianos, un dels blocs que seguim habitualment, publica avui una entrada dedicada a la conjectura de Casas Alvero, plantejada per Eduard Casas Alvero, professor del Departament d’Àlgebra i Geometria de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona.

Fa uns dies, Gaussianos proposava un problema —sense solució coneguda— als seus lectors. Obviant aquest petit detall, la intenció era estimular la participació i veure si es feien aportacions interessants que poguessin conduir a una possible demostració. Però un dels lectors, Hernán, després de donar-hi moltes voltes va fer una cerca a Internet i va descobrir que es tractava de la conjectura de Casas Alvero, un problema obert.

Posteriorment Gaussianos es va posar en contacte amb Eduard Casas Alvero perquè els expliqués els orígens de la conjectura i l’estat actual del problema:

La ahora llamada conjetura de Casas-Alvero surgió como pregunta hacia 1998-99. Yo (Eduardo) acababa de obtener unos resultados sobre curvas polares (que luego aparecieron en Journal of Algebra 240(1), 2001) y estaba intentando establecer a partir de ellos un criterio de irreducibilidad para series de potencias en dos variables con coeficientes complejos. En determinado momento necesité usar que un polinomio en una variable que comparte raíces con todas sus derivadas de grado positivo es potencia de uno lineal. Al principio me pareció un hecho que no debía de ser difícil, de modo que lo dejé de lado para dedicarme a lo que parecían ser partes más serias de la demostración del criterio. Con todos los cabos más o menos atados volví al problema en una variable para descubrir que no era nada fácil. Estuve un tiempo intentando diversos tipos de argumentos y todo lo que conseguí fueron varias retorcidas maneras de obtener las fórmulas de Cardano, pero ninguna demostración de lo que quería. Luego empecé a preguntar a los colegas: primero a los de mi universidad, más tarde en congresos y visitas a otras universidades, en mis conferencias… Todo lo que obtuve fueron entretenidas discusiones, pero ningún avance, hasta que Lalo González-Vega (U. de Cantabria) me escuchó la pregunta y junto con Gema M. Díaz-Toca probó que el resultado era cierto para polinomios de grado menor o igual que ocho (Maple conference 2006. Proceedings of the conference, Waterloo, Ontario, Canada, July 23-26, 2006, pages 81-98, Waterloo, 2006. Maplesoft, la primera publicación sobre el tema, que yo sepa).

En 2007, Hans-Christian Graf von Bothmer, Oliver Labs, Josef Schicho, y Christiaan van de Woestijne publicaron en Journal of Algebra la demostración del hecho para polinomios cuyo grado es potencia de primo o el doble de potencia de primo; puede verse en http://arxiv.org/abs/math/0605090 . Recientemente (2010) Jan Draisma (Eindhoven) y Johan P. de Jong, han obtenido una demostración más simple que extiende el resultado a polinomios de grado p^n,2p^n, 3p^n y 4p^n, para p primo; han escrito además artículos de divulgación y un curioso applet sobre el problema (que puede verse en esta web).

Por mi parte he vuelto al problema un par de veces en estos años sin resultados (encontré una demostración preciosa, con polígonos curvilíneos e inversiones del plano, pero totalmente falsa). El criterio de irreduciblidad para series sigue pendiente y no descarto volver a trabajar en él (y en la conjetura si no puedo evitarla) en cuanto tenga algo de tiempo.

Font: Gaussianos


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Nosaltres també hem construït el poliedre de Császár

El 14 de maig Gaussianos publicava una entrada, El sorprendente poliedro de Császár, en què s’explicava què és el poliedre de Császár i quines propietats té.

A banda de l’explicació, l’entrada incloïa les instruccions i el patró per construir-lo, extrets del llibre de Martin Gardner, Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas.

El 31 de maig llançaven el repte de construir el Poliedre de Császár, ja fos amb els patrons que oferien a la primera entrada o a partir dels que cadascú pogués trobar. Van crear un set al seu compte a Flickr per penjar-hi les fotografies dels qui vulguin participar-hi. Només cal enviar-la per correu electrònic a l’adreça gaussianos+csaszar (arroba) gmail (punt) com

Ha estat la nostra assessora matemàtica qui ha assumit el repte i qui ha construït, per duplicat i amb mides diferents, el poliedre proposat.

No s’està, però, de qüestionar les instruccions de Gardner, concretament allà on diu “sujetamos con cinta adhesiva los vértices A uno junto al otro”, tot indicant que hauria de dir: “sujetamos con cinta adhesiva las aristas A una junto a la otra”.

Altres blocs que han participat del repte hi han dedicat l’entrada corresponent:

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