Blog de la Bibliotecade Matemàtiques i Informàtica


2 comentaris

Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria a l’ESO

Patrons en estructuresEls resultats de les proves de competència en matemàtica de l’Enseyament Secundari Obligatori (ESO) constaten, any rera any, l’existència d’un problema greu i persistent en el camp de la geometria.

En l’avaluació de l’any 2015, el bloc corresponent a geometria (espai, forma i mesura) va obtenir una mitjana de més de 16 punts per sota de la mitjana global. Presentava, també, el percentatge més gran d’alumnat en un nivell d’assoliment baix (41,3%, més de 25 punts per sobre del percentatge d’alumnat en la mateixa franja en els resultats globals de la matèria) i el percentatge més baix d’alumnat en un nivell d’assoliment alt (14,5%, més de 14 punts per sota del percentatge d’alumnat en la mateixa franja en els resultats globals de la matèria). Aquests resultats confirmen una tendència ja observada els dos anys anteriors, i present també —tot i que en menor mesura— en les proves PISA.

Anton AubanellEl Departament d’Ensenyament, conscient d’aquesta mancança, va demanar a Anton Aubanell, catedràtic de matemàtiques a l’IES Sa Palomera (Blanes) i professor del Departament de Matemàtica Aplicada de la UB, ara jubilat, un estudi sobre la situació i les possibles línies de millora. El resultat és un extens treball —Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria— disponible íntegrament en línia a la Xarxa Telemàtica Educativa de Catalunya (XTEC) i publicat també a Quaderns d’avaluació nº 31. L’informe ofereix una reflexió teòrica sobre les dificultats detectades i les possibles millores, a banda de propostes didàctiques concretes, focalitzades en dues vessants:

  • Activitats geomètriques de tipus experimental, que permeten treballar els blocs curriculars de mesura, d’espai i forma d’una manera més viscuda, amb cicles d’experimentació, descoberta i conceptuació.
  • Activitats geomètriques per incorporar als blocs no geomètrics (numeració i càlcul, canvi i relacions, estadística i atzar), estenent així la presència de les idees geomètriques i, alhora, aportant els avantatges de la representació gràfica i la visualització en el treball sobre els continguts no estrictament geomètrics.

Línies de millora

Aubanell proposa tres línies de millora, orientades a donar resposta a les causes que expliquen les mancances observades:

  1. Equilibrar la implementació del currículum augmentant la presència de la geometria i moderant la del càlcul.
  2. Integrar en el treball geomètric activitats més competencialment riques basades en l’experimentació.
    1. Impulsant la presència a les classes d’activitats que permetin viure, en primera
      persona, l’experiència de construir coneixement geomètric, a través de l’experimentació, la descoberta, la conceptuació i la demostració.
    2. Emprant més material manipulable i més programari tipus GeoGebra en
      l’ensenyament de la geometria.
    3. Donant més presència als contextos reals a la classe de geometria.
  3. Incorporar més geometria i raonament visual als blocs de continguts no estrictament geomètrics (numeració i càlcul; canvi i relacions; i estadística i atzar).

Diagrama: anàlisi i propostes

Exemples d’activitats proposades

Organitzats en 5 grans apartats —mesura, espai i forma, numeració i càlcul, canvi i relacions, estadística i atzar—, els exemples d’activitats tenen per objectiu traslladar les experiències i els conceptes matemàtics directament a la pràctica, conduint-les de l’abstracció a l’experimentació,  veure-les i viure-les.

Per a cada bloc del currículum s’ofereixen tres apartats:

  • Observacions generals, idees metodològiques, reflexions didàctiques i referències útils.
  • Una activitat descrita i analitzada amb detall.
  • Un quadre amb altres activitats, comentades breument, i organitzades per ordre creixent de dificultat.

Totes les activitats són accessibles des de la pàgina Orientacions pràctiques per a la millora de la geometria, al web de la XTEC.

 Més informació


Deixa un comentari

La RSME edita «Gardner para principiantes: enigmas y juegos matemáticos»

Gardner para principiantesLa Real Sociedad Matemática Española (RSME) ha editat, amb aquest títol, un nou volum de la col·lecció Biblioteca Estímulos Matemáticos. Aprofitant el centenari de Martin Gardner, celebrat l’any passat, i amb la intenció de continuar la seva tasca divulgativa, van demanar a diverses persones si voldrien contribuir en aquesta obra col·lectiva. La proposta va tenir tan bona acollida que finalment es publicarà més d’un títol amb les col·laboracions recollides.

El plantejament del llibre és, d’alguna manera, continuar el camí iniciat per Gardner en les seves col·laboracions periòdiques a Scientific American i “convertir centenars de nens en matemàtics”. L’obra s’adreça especialment a estudiants d’ESO i Batxillerat, convidant-los a endinsar-se en el món de la matemàtica recreativa, una àrea ignorada pels currículums escolars.

Gardner para principiantes, coordinat per Fernando Blasco, s’estructura en 14 articles —un per a cada carta de la baralla francesa, més un comodí— i proposa, no només una lectura atenta, sinó també un seguit d’activitats per posar en pràctica. Hi ha problemes, enigmes, les matemàtiques de les bombolles de sabó, una introducció a la criptografia, als grafs, paradoxes, i molts altres aspectes menys coneguts de les matemàtiques.

Entre els col·laboradors, hi trobareu alguns vells coneguts d’aquest blog, com Anton Aubanell, Claudi Alsina, Fernando Blasco o Clara Grima. La resta, són Pedro Alegría, Migel Ángel Morales, María Luz Callejo, Raúl Ibáñez, Ana De La Fuente, Manuel García, Adela Rodríguez, Roger B. Nelsen, Bernardo Recamán, Esteban Serrano, Vicente Meavilla, Jorge Luengo i Isabel Queralt.

Font: Boletín de la RSME, nº 432 (19/01/2015)


Deixa un comentari

Homenatgem Martin Gardner en el centenari del seu naixement

Martin Gardner: centenari 1914-2014Il·lustració de Ken Fallin, utilitzada amb autorització de l’autor

La contribució de Martin Gardner a la cultura intel·lectual contemporània és única —pel seu abast, per la seva profunditat i per la seva comprensió de les grans qüestions que importen.

Noam Chomsky, citat per The Washington Post a Martin Gardner, prolific math and science writer, dies at 95

Tal dia com avui, el 21 d’octubre de 1914, tot just 4 mesos després de l’esclat de la Primera Guerra Mundial, va néixer a Tulsa (Oklahoma), Martin Gardner. El 22 de maig de 2010, 4 anys abans de fer els 100, moria a Norman, al mateix estat d’Oklahoma.

Amb motiu del centenari, el CRAI Biblioteca de Matemàtiques li ret homenatge amb una exposició virtual, que recorda la seva immensa contribució a l’hora d’apropar les matemàtiques al gran públic, des d’una perspectiva lúdica i atractiva, però sempre rigorosa.

La mostra proposa un recorregut per la biografia de Gardner, per la seva producció intel·lectual i les seves aportacions, especialment en el camp de la matemàtica recreativa, i també en la divulgació de la ciència en general, el pensament crític, l’escepticisme científic i la filosofia.

Agraïments

  • Agraïm al professor Anton Aubanell la seva col·laboració entusiasta a l’hora de redactar la presentació d’aquesta mostra. Podeu descarregar-la, si voleu, maquetada i en pdf.
  • Agraïm a Ken Fallin la seva predisposició a ajudar-nos. A banda d’autoritzar-nos a fer servir la seva caricatura de Martin Gardner, en va digitalitzar una còpia a alta resolució perquè poguéssim fer el cartell.

Qui era Martin Gardner?

Martin Gardner va ser un gran divulgador de la ciència, escriptor i destacat escèptic, popularment conegut pels seus articles sobre matemàtica recreativa. De 1956 a 1981 va publicar ininterrompudament  la columna Mathematical Games a la revista Scientific American i de 1983 a 2002, la columna Notes of a Fringe-Watcher —originalment Notes of a Psi-Watcher a la publicació Skeptical Inquirer. Al llarg de la seva vida va publicar un centenar de llibres, molts dels quals recollien les seves columnes mensuals.

Annotated Alice

Il·lustració original de John Tenniel per a Alice's Adventures in WonderlandL’any 1960 es va publicar la que segurament és la seva obra més celebrada, The Annotated Alice : Alice’s adventures in wonderland and Through the looking glass, una edició comentada, farcida d’aclariments filosòfics, lingüístics i científcs, que reunia i interpretava els dos textos principals de Lewis Carroll, Alice’s Adventures in Wonderland (1865) i Through the Looking-Glass (1871), acompanyats de les il·lustracions originals de John Tenniel. L’any 1990 Gardner en va publicar una segona part, More annotated Alice (Random House) i el 1991 es va publicar The Complete Annotated Alice (Voyager, 1991), que actualitzava i combinava els dos anteriors. Finalment el 1999, Norton & Company en publicaria l’edició definitiva, amb el títol Annotated Alice: The Definitive Edition.

The last level of metaphor in the Alice books is this: that life, viewed rationally and without illusion, appears to be a nonsense tale told by an idiot mathematician.

Gardner, Martin. The Annotated Alice : Alice’s adventures in wonderland and Through the looking glass. New York : Wings Books, 1998, p. 15.

Escepticisme científic

Martin Gardner va ser molt bel·ligerant amb les pseudociències i tots aquells corrents de pensament, pseudoreligiosos i/o alternatius, basats en afirmacions acientífiques indemostrades. L’any 1952 va publicar Fads and Fallacies in the Name of Science, una obra pionera i fundacional del moviment escèptic, que explorava les perspectives més que dubtoses del creacionisme, la cienciologia, la dianètica, els ovnis, la radioestèsia o la percepció extra-sensorial. Aquesta obra i les posteriors (Science: Good, Bad and Bogus, 1981; Order and Surprise, 1983, Gardner’s Whys & Wherefores, 1989) li van valer gran quantitat de detractors entre els esmentats corrents.

L’any 1976, Gardner va fundar, amb Carl Sagan, Isaac Asimov, B.F. Skinner, Paul Kurtz i altres col·legues, el Committee for the Scientific Investigation of Claims of the Paranormal (CSICOP), que canviaria de nom el 2006 i passaria a denominar-se Committee for Skeptical Inquiry (CSI). Des de 1983 fins al 2002 va publicar ininterrompudament la columna Notes of a Fringe-Watcher a la revista Skeptical Inquirer, que edita l’entitat. Tots aquells articles es van recollir, igual com ja s’havia fet abans amb els de Scientific American, en 5 llibres.

Malgrat tot, Gardner es definia a si mateix com a «teista filosòfic» i fideista, en la mateixa línia que Immanuel Kant, Charles Peirce, William James o Miguel de Unamuno: creia en un Déu personal, en el més enllà i en la oració, però no creia en cap religió establerta. Admetia que no hi havia res que provés l’existència de Déu o la immortalitat de l’ànima i que els ateus tenien millors arguments. Adduïa, però, que la seva creença no era racional, més aviat emocional i «quixotesca», enfrontada a les evidències i a les probabilitats.

I am a philosophical theist. I believe in a personal god, and I believe in an afterlife, and I believe in prayer, but I don’t believe in any established religion. This is called philosophical theism…. Philosophical theism is entirely emotional. As Kant said, he destroyed pure reason to make room for faith.

Carpenter, Alexander. Martin Gardner on Philosophical Theism, Adventists and Price” Interview, Spectrum, 17 d’octubre de 2008.

Podeu visitar la mostra Martin Gardner: Centenari, 1914-2014


Deixa un comentari

«Carta a un professor novell», d’Anton Aubanell

Anton AubanellAnton Aubanell, especialista en Didàctica de les Matemàtiques recentment jubilat, ha estat durant molts anys professor del Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi de la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona (UB) i, també, de l’IES Sa Palomera de Blanes.

La Federació d’Entitats per a l’Ensenyament de les Matemàtiques de Catalunya (FEEMCAT), va publicar un apunt al seu blog —“Carta a un professor novell”, per Anton Aubanell—, que reproduïm tot seguit pel seu gran interès. Agraïm molt a la FEEMCAT que ens hagi autoritzat a transcriure-la.

Adjuntem, també, l’enregistrament en vídeo de l’última i emotiva lliçó que Aubanell va fer a la Facultat, on llegia la carta.

Carta a qui comença en l’ofici d’ensenyar matemàtiques

Benvolgut amic, benvolguda amiga:

Estàs començant en una professió en la qual pots ser molt feliç! Ensenyar matemàtiques pot ser una de les aventures més apassionants de la teva vida. Tindràs el privilegi de transmetre a altres persones alguns dels coneixements més formidables que ha creat l’ésser humà, els ajudaràs a què descobreixin la seva bellesa interna, l’encant dels seus reptes i la seva utilitat per analitzar, interpretar i preveure el món que ens envolta.

Agraeixo tenir l’oportunitat d’adreçar-te aquesta carta per compartir amb tu algunes de les coses que m’agradaria haver après (no tinc clar d’haver-les après!) al llarg dels anys que he exercit l’ofici d’ensenyar matemàtiques. Ja sé que unes quantes idees escrites en un paper no poden substituir el seguit d’experiències que aniràs vivint a les aules i que aniran construint-te com a docent, però crec que a mi m’haguessin estat útils i desitjaria que també et fossin útils a tu. Gràcies per dedicar-hi uns minuts a llegir-les!

A mesura que han passat els anys he anat essent més conscient que una de les responsabilitats més grans que té un docent és administrar bé el temps dels seus alumnes. Cada classe un grup de joves posa a les teves mans un dels bens més valuosos que tenen: el seu temps. Aprofita’l no per fer moltes coses sinó per fer-les molt bé!

Ben segur que hi haurà dificultats, desencisos, dubtes, pors… no tot serà fàcil però no deixis mai que aquests mals moments et robin les ganes d’ensenyar matemàtiques, la il·lusió per motivar als alumnes.  Mostra aquest entusiasme, per què s’encomana! Molts dies et sortirà de dins però hi haurà dies difícils. Aquests dies també mostra’t entusiasta i acabaràs sentint-te’n.

Intenta que la successió de classes no sigui monòtona. Particularitza la classe. Cada dia pot ser especial: una efemèrides, una idea nova que avui tractarem, un problema molt interessant, un material sorprenent, una dinàmica de treball diferent…  Intenta introduir canvis en les teves classes, no reprodueixis automàticament la manera com et varen ensenyar, experimenta possibles millores, no et conformis a fer, curs rere curs, totes les coses de la mateixa manera, introdueix nous recursos sense pressa però sense pausa… els teus alumnes t’ho agrairan i tu et mantindràs professionalment jove!

Tingues en compte que cada nen o nena, noi o noia és diferent. Té el seu caràcter, les seves aficions, el seu entorn familiar…  A dins de les teves classes no existeix això que, a vegades, s’anomena “l’alumnat”, existeixen alumnes concrets, cadascun/a amb les seves capacitats i les seves emocions, amb les seves pors i les seves il·lusions, amb els seus punts forts com a estudiant i les seves dificultats… evita les valoracions generals, intenta entendre a cadascun/a i individualitza el tracte. Sempre t’agrairan una salutació pel passadís, una mirada afectuosa, un cop a l’esquena, una felicitació personal o la discreció en un avís sobre aquell aspecte que cal millorar.

Gestiona bé els errors dels teus i de les teves alumnes. Tingues en compte que, en situació d’aprenentatge, l’error no és un fracàs sinó un missatge que cal saber llegir per convertir-lo en una oportunitat de millorar. Si et precipites donant a l’error d’un/a alumne/a una càrrega molt negativa perdràs l’ocasió de treure’n profit. Ajuda a què ell/a mateix/a el descobreixi i el corregeixi. Tu pots detectar l’error però no oblidis que l’autèntica correcció, la que arriba al fons de l’aprenentatge, tan sols la pot fer cada alumne/a.

I gestiona bé els teus propis errors. No existeix la classe perfecte! Quan surtis de classe no et desesperis si no ha anat bé. Ni tot depèn de tu, ni tot el que facis serà sempre encertat. Tots/es ens equivoquem: tindràs una errada matemàtica o faràs un comentari inadequat o preguntaràs a qui no hauries de preguntar o no valoraràs allò que hauries de valorar… però aprendràs dels teus errors i, si els assumeixes amb naturalitat,també n’aprendran els/les teus/ves alumnes.

A vegades hauràs fet tot el que has pogut (i encara una mica més!) i després les coses no aniran com voldries, a vegades els resultats no seran tan bons com esperaves o no t’acabaràs d’entendre amb algun/a alumne/a, però no et desanimis fàcilment. Reflexiona, aprèn, intenta millorar i gaudeix de totes les coses que sí surten bé, aquell aprenentatge que ha quedat ben clar, aquells/es alumnes que mostren molt d’interès, aquell grup que està millorant… Mai t’instal·lis en el desànim  o la queixa fàcil a curt termini però erosionant a llarg termini (fes-ho per als teus i les teves alumnes però sobretot fes-ho per a tu!).  Cerca constantment raons per mantenir una actitud positiva, especialment quan et costi trobar-ne!

Pel que fa a l’avaluació tingues una mirada àmplia i no prenguis com a referència la teva experiència personal o les teves capacitats. Deixa clares les regles de joc el primer dia i sigues coherent amb elles al llarg del curs. Els/Les teus/ves alumnes acceptaran que siguis més dur/a o més tou/va però no que siguis arbitrari/ària.

Coneix el currículum però no te’l prenguis com una norma tancada sinó com una porta oberta a la innovació. Planifica, programa, però no siguis esclau dels teus plans. Els documents poden ajudar però la realitat és l’aula. Adapta’t, sigues flexible. Si utilitzes llibre de text no deixis que t’ofegui i pensa que, a vegades, els llibres proposen de fer tantes coses que no deixen temps per fer-les bé.  A mi, els primers anys,  em va ser útil portar un diari on controlava el temps que anava dedicant a cada tema i, amb un parell de línies, descrivia el que havia fet a classe i el que havia quedat pendent per a la propera.

Procura projectar una visió aplicada i funcional de les matemàtiques al mateix temps que ajudes a descobrir la seva bellesa intrínseca, la seva estructura, la seva metodologia, el pensament matemàtic. Utilitza diversos tipus de recursos i presenta o fes descobrir les idees matemàtiques de diferents maneres. Així arribaràs als diversos estils d’aprenentatge.

Pensa que, en gran mesura, fer matemàtiques és fer problemes, però no vulguis fer molts problemes, a vegades és més un tema de qualitat que de quantitat. Potser cal fer menys problemes per fer-los millor, convidant a explicar l’enunciat, a explicitar el pla de resolució, a contrastar opinions, a plantejar alternatives i, sobretot, donant temps per  a què cada alumne/a hi entri, el treballi, se’l faci seu. Si correm massa podem trobar-nos explicant boniques resolucions de problemes que l’alumne/a encara ni s’ha plantejat.  Fent problemes a classe valora molt el teu silenci per no trepitjar la feina que cal que faci l’alumne/a . Respon a preguntes amb noves preguntes que suggereixin direccions d’avenç però deixa que faci el seu camí. No li robis l’èxit d’arribar a la solució amb els seus propis mitjans. I tingues en compte que la resolució d’un problema no acaba quan s’obté la solució: convida a analitzar al procés seguit, a buscar alternatives, a contrastar opinions… La resolució d’un bon problema de matemàtiques a classe és una aventura a la qual cal atorgar importància, donant-hi temps, immergint-lo amb un clima de raonament compartit, promovent la conversa i valorant molt la feina feta.

I, parlant de problemes… tingues en compte que, inevitablement,  algun dia hi haurà un conflicte! No pateixis! El conflicte és natural en totes les comunitats humanes. No t’ha d’importar el conflicte, el que t’ha d’importar és saber-lo gestionar bé: pren distància, pren-te temps, no t’ho prenguis com un assumpte personal… No et quedis només amb la mirada de l’alumne/a que et desafia o que et menysprea, busca la mirada dels alumnes i de les alumnes que volen aprendre, que t’estan dient que valoren el teu esforç… no fos que una actitud negativa t’impedís veure moltes actituds positives.

Evita que cap alumne/a se senti exclòs/osa de les matemàtiques. Demostra-li que tens confiança en les seves possibilitats, celebra efusivament els seus èxits matemàtics i reconeix el seu esforç encara que no acabi de donar fruit. No perdis cap oportunitat de felicitar en veu alta i, quan sigui necessari, avisa o recrimina en veu baixa.

Forma’t contínuament:  treballa en equip i intenta no caminar sol/a, documenta’t, experimenta, assisteix a trobades professionals, busca l’acompanyament d’altres docents, comenteu i reflexioneu sobre allò que us ha funcionat i allò que no ha anat tan bé, obre les portes de la teva classe a altres col·legues i, si tens oportunitat, assisteix a les seves classes, escolta als teus alumnes i a les teves alumnes i llegeix les seves cares… tot això anirà refinant i polint les teves capacitats com a professor/a i pensa que sempre tindràs molt per aprendre i que sovint, malgrat que hagin passat els anys, et sentiràs com un/a professor/a novell.

I, de tant en tant, mira enrere i valora amb orgull tot el camí que has fet, tot el que has après i tot el que has ensenyat  als teus alumnes!

Molta sort amic/amiga! Que siguis molt feliç!

Anton Aubanell


Deixa un comentari

Hemeroteca: La incògnita de les Matemàtiques

Recuperem el diàleg a tres bandes que va publicar La Universitat l’any 2007, amb tres matemàtics de la Facultat: Pilar Bayer Isant, Josep Pla i Carrera i Anton Aubanell Pou.

Pilar Bayer, Josep Pla i Carrera i Anton Aubanell Pou

incognita01Els alumnes que han fet enguany les proves d’accés a la universitat han obtingut una mitjana de 4,7 en l’examen de matemàtiques, la nota més baixa comparada amb la resta d’assignatures de les quals s’examinaven. Aquest suspens reforça la idea comuna que les matemàtiques són la bête noire de molts estudiants. Però també representen una disciplina atractiva que desperta vocacions i crea espais de creativitat i llibertat intel·lectuals. «Les matemàtiques no només tenen la veritat, sinó la bellesa suprema» deia el filòsof Bertrand Russell. Són la base de la gran societat tecnològica en què vivim, i tenen un llenguatge propi i diferent que és part de la ciència i la cultura des de l’origen de les societats humanes. Però, són realment tan difícils, les matemàtiques? Quina és la imatge social del matemàtic? Ens ensenyen bé les matemàtiques a l’escola? Totes aquestes preguntes afloren de tant en tant en els mitjans de comunicació. Més enllà de l’actualitat més immediata, en aquest diàleg, tres matemàtics reflexionen sobre el món d’aquesta disciplina i el paper que assumeix en la cultura i en la vida quotidianes.

Pilar Bayer Isant (Barcelona, 1946)

Pilar Bayer IsantCatedràtica d’Àlgebra de la UB des del 1982. Especialista en teoria de nombres, les seves publicacions versen sobre funcions zeta, la teoria de Galois, les equacions diofàntiques, corbes el·líptiques i corbes de Shimura. Ha dirigit deu tesis doctorals i ha estat investigadora principal de nombrosos projectes de recerca. És acadèmica de la Reial Acadèmia de Ciències Exactes, Físiques i Naturals i membre de l’Institut d’Estudis Catalans. Medalla Narcís Monturiol (1998) al mèrit científic i tecnològic de la Generalitat de Catalunya, va ser nomenada Professora Emmy-Noether per la Universitat Georg August de Gotinga (2004).

Josep Pla Carrera (Sant Feliu de Guíxols, 1942)

Josep Pla i CarreraProfessor emèrit del Departament de Probabilitat, Lògica i Estadística, centra l’activitat investigadora en l’estudi, l’ensenyament i la recerca en lògica algebraica i història de la matemàtica. Membre numerari de la Reial Acadèmia de Doctors de Barcelona, del Centre d’Estudis d’Història de les Ciències (CEHIC) i professor honoris causa de la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la UPC. És autor de diverses publicacions de caràcter divulgatiu sobre el món de les matemàtiques, com ara els títols Axiomes alterna tius de la teoria axiomàtica de con­ junt (Premi Ferran Sunyer i Balaguer, 1992) o la novel·la Damunt les es­patlles dels gegants (Premi de Literatura Científica FCRI, 1998).

Anton Aubanell Pou (Malgrat de Mar, 1954)

Anton Aubanell PouProfessor associat de Didàctica de les Matemàtiques a la Facultat de Matemàtiques de la UB i catedràtic de Matemàtiques a l’IES Sa Palomera de Blanes. Del 1977 al 1982, després de llicenciar-se a la UB, va impartir classes d’equacions diferencials i de càlcul numèric a la Facultat de Matemàtiques. És expert en materials manipulatius i activitats experimentals aplicades a l’educació matemàtica, coautor del llibre Eines bàsiques de càlcul numèric, editat pel Servei de Publicacions de la UAB i premiat amb un dels guardons de l’European Science Teaching Awards 2003 en el marc de la Setmana Europea de la Ciència per l’experiència didàctica Geometria amb bombolles de sabó.

Són difícils, les matemàtiques?

Pilar Bayer: Les matemàtiques són difícils, certament, però jo no tinc la percepció que l’aprenentatge presenti dificultats insuperables perquè treballo amb estudiants de la Facultat de Matemàtiques i a ells els agraden. Sovint em pregunto: «Per què la societat en té aquesta percepció tan negativa?» El professorat de matemàtiques de secundària està fent molt bona feina, però, per tal que l’ensenyament de les matemàtiques millori a casa nostra cal, també, augmentar-ne l’apreciació social i afavorir-ne les condicions d’estudi. Per aprendre matemàtiques no n’hi ha prou amb les hores de docència, ja que l’experiència matemàtica no s’adquireix a través d’una altra persona. Quan els alumnes tornen a casa seva després de les classes, necessiten temps i silenci per estudiar. Sovint, però, és difícil que treballin en ambients escaients que els permetin madurar uns coneixements mig adquirits. Les matemàtiques que s’ensenyen a l’escola, a l’institut o a la universitat s’han d’acompanyar d’un treball individual.

Josep Pla: Jo distingiria entre les dificultats de les matemàtiques, i el fet que molts estudiants que són bons en matemàtiques no acabin fent la llicenciatura. Al final, trien altres ensenyaments (Periodisme, Enginyeria, etc.). De fet, no sé si és que les matemàtiques són difícils d’entendre, o és que no sabem «vendre» als alumnes més motivats que les matemàtiques són una professió digna. Potser no tenen un perfil laboral tan rellevant com altres professions, ni sous elevats, però sí que val la pena estudiar-les. I això és el que no sabem fer arribar a l’alumnat, a la societat. Els pares amb fills amb capacitat per a les matemàtiques demanen preocupats: «I no seria millor que fes alguna enginyeria?». Sembla que un enginyer és algú a la societat, però en canvi, en la percepció de l’imaginari col·lectiu, un matemàtic és com si fos fum. No fa ponts, no escriu obres literàries, no pinta quadres. Quina és realment la feina d’un matemàtic?

Anton Aubanell: És cert que les matemàtiques tenen fama de difícils entre l’alumnat. Quan s’inicia el curs i els mitjans de comunicació pregunten als nois i noies per l’assignatura que més els costa, la resposta sol ser «matemàtiques!». Però l’experiència real de les aules és ben diferent: els alumnes poden divertir-se molt fent matemàtiques! És una matèria que requereix abstracció i a la qual cal dedicar-hi temps, paciència, sensibilitat. Igual que, per exemple, tocar el piano. Cal disposar de temps per fer problemes assaborint-ne tot l’encant. Sense temps, de vegades, responem a preguntes que l’alumne encara no s’ha plantejat o caiem en esquemes repetitius i mecànics, i aquesta no és la millor recepta perquè les matemàtiques agradin als estudiants de secundària. Pot fer-se un bon servei a l’educació matemàtica escolar des de fora de l’escola, des de la societat i els mitjans de comunicació mostrant una imatge diferent de les matemàtiques. I aquest ajut extern no sempre el tenim.

El llenguatge formal

PB: Valdria la pena que la població conegués el llenguatge matemàtic elemental. És una qüestió d’orientació de  l’aprenentatge. També seria interessant conèixer el llenguatge de la música: ser capaços de llegir partitures. Els llibres de divulgació científica i alguns articles de premsa serien molt més entenedors si s’acompanyessin de fórmules matemàtiques (la qual cosa, ara com ara, està gairebé prohibida en el món editorial). La gent formada hauria de ser capaç de llegir i comprendre fórmules senzilles. L’avenç de les matemàtiques es deu en bona part a intents de resolució de problemes concrets, del dia a dia. El seu llenguatge no és aliè al món que ens envolta. Trobem fàcilment exemples en la vida quotidiana que condueixen a la noció de límit, d’integral, de deriva­da, etc.

JP: Si un nen vol cantar, li ensenyen el mínim de solfeig. I si vol pintar, fa classes per perfeccionar la tècnica. La matemàtica no és gaire diferent de tot això. Pots tenir dots naturals, una certa predisposició, però si no vas a l’escola, l’esforç és inútil. Has de fer «dits» amb les matemàtiques, «anar a estudi», una expressió que s’ha perdut. Tant és que estudiïs molt a classe si finalment tu mateix no arribes a assolir aquest coneixement com a cosa individual. Això és el que passa amb els esportistes, però els matemàtics no som mediàtics. I un noi o una noia, amb una mica d’aptitud per a les matemàtiques, si dediqués a fer matemàtiques les hores que Fernando Alonso dedica a entrenar-se, arribaria a ser un bon matemàtic. La geometria és un bon camí intuïtiu per apropar-se al formalisme matemàtic, però l’hem foragitada dels plans d’estudis. És bo veure un teorema, un resultat, abans de demostrar-lo, i la geometria dóna un suport físic formal abans de l’abstracció de l’àlgebra.

AA: El llenguatge formal avui té menys presència en l’educació secundària que temps enrere. En pro de la funcionalitat, de vegades, hem sacrificat aspectes importants. A secundària, sovint s’ha dit que «el que fem a classe ha d’estar contextualitzat o ser d’aplicació immediata». Això és veritat però no hauria d’excloure altres aspectes genuïns de la matemàtica. És com fixar-nos tan sols en el prêt-à-porter i oblidar-nos de l’alta costura. Podem anar «picotejant» aplicacions en vols curts però no hem d’oblidar que les matemàtiques són una àliga que vola alt i que té una amplíssima visió de camp a través del seu poder per construir models generals, per bastir raonaments i per expressar-se amb precisió i rigor.

Pilar Bayer, Josep Pla i Anton AubanellCom estructuren la ment

PB: D’entrada, una persona que es dedica a les matemàtiques no està més preparada que la resta de persones per fer front als problemes de la vida quotidiana. Els problemes de la vida i, sovint, els de les altres ciències, són més difícils de resoldre que els problemes matemàtics. Es pot dir que les matemàtiques només tracten la resolució de les qüestions més senzilles. Per estudiar un problema pràctic des d’un punt de vista matemàtic cal fer-ne un model que el simplifiqui.  Cal diferenciar entre el que és important i el que és secundari. Cal prioritzar i assignar un pes a cadascuna de les moltes variables que hi intervenen. Cal aprendre que les solucions no solen ser úniques, que pot fins i tot no haver-n’hi, però que es poden optimitzar, o aproximar, segons el cas. Les matemàtiques són molt formatives perquè ens mostren les nostres limitacions i fan palesos els nostres errors. Els matemàtics aprenen a equivocar-se: l’elecció d’un model pot no ser encertada, pot no aplicar-se bé, es poden haver fet errors de càlcul. Però les matemàtiques ensenyen, també, que tots els errors a la llarga es corregeixen si s’hi treballa prou. Quan veig persones que actuen com si no s’equvoquessin mai, penso que els hauria anat bé fer una mica de matemàtiques.

JP: El meu pare volia que jo fes Física, per a ell era la ciència més completa. Però jo volia fer Matemàtiques. Em va dir: «Bé, però no et serviran per resoldre cap problema de la vida». Per al pare, quan calia resoldre problemes complexos amb moltes variables, la lògica matemàtica no era la resposta més idònia. La realitat de la vida no la pots modelitzar, i potser la física et donava una visió més àmplia dels fenòmens que provenen de situacions externes, però les matemàtiques estructuren el cervell d’una manera fantàstica, i t’ajuden a resoldre situacions de la vida real amb una clarividència que trobes a faltar en altres coneixements.

AA: Les matemàtiques aporten molts elements en la formació del pensament: ordre, cura per l’argumentació, gust pel rigor, enteniment amb la representació simbòlica, capacitat d’aprendre de situacions d’errors. Poques disciplines eduquen tan bé l’atenció i la tenacitat de l’alumnat. Si eliminéssim les matemàtiques del currículum dels estudiants, es perdria un espai importantíssim en la seva formació, i valors que no poden aportar altres disciplines. Ens mancaria una eina imprescindible per a altres ciències. No són cap espai rígid, tancat. Representen un lloc de creativitat, invenció, imaginació, un espai de llibertat: mai no s’és tan lliure com quan s’està resolent un problema i es pot provar-ho tot. I això és ben bonic.”

Sense matemàtiques no hi ha ciència

PB: Les matemàtiques proporcionen unes ulleres per mirar la natura. El seu paper és indiscutible en el progrés de la ciència. Però els seus èxits només són apreciables per una part de la societat quan es tradueixen en avenços tècnics. El que hi ha  primerament és un raonament abstracte, després es passa a la comprensió de fenòmens i, finalment, a un resultat aplicable. Però quan gaudim d’un avenç tècnic, aleshores ja ens tornem a oblidar de l’aportació inicial de les matemàtiques. Donem per fet que ens podem comunicar per mòbil de manera segura, per exemple, però no reflexionem sobre les bases científiques i  tecnològiques que ho fan possible. Quan els estris funcionen, les matemàtiques es tornen invisibles. En el millor dels casos, els usuaris es fixen en la part informàtica. Qui es podria imaginar un dia sense matemàtiques? No funcionaria res!

JP: Com deia la Pilar: «Per què volen els avions?» Res no funcionaria sense les matemàtiques. Els avions no volarien pas, però un cop ho fan, ens oblidem del paper de les matemàtiques. I si algú mira d’explicar-nos-ho, el que fa és parlar-nos de la part mecànica i no pas de la part matemàtica. Jo proposaria dos minuts diaris de reflexió sobre el valor de les matemàtiques. L’altre dia, per exemple, en una llibreria vaig fullejar un llibre força voluminós que tractava de la civilització occidental. No hi havia cap referència a les matemàtiques. Ni Gauss, ni Fermat, ni cap matemàtic rellevant. Qui llegeixi aquest llibre, pensarà que la civilització occidental no ha passat pel món de les matemàtiques? El vaig deixar a la botiga, el llibre.

AA: Sense les matemàtiques, el mètode científic probablement no passaria de la mera observació a la construcció de teories, ni de les teories a les aplicacions. Podria haver-hi observació de fenòmens i certa inducció, però difícilment hi hauria ciència. Per fer ciència, cal aplicar tècniques quantitatives, processos de càlcul i control d’errors, tècniques estadístiques, etc. La ciència no podria abordar determinats conceptes sense usar models matemàtics i el seu llenguatge simbòlic. Fins i tot, als instituts de secundària, a vegades, els professors de física ens avisen: «Els alumnes no saben fer tal cosa perquè els falten les eines matemàtiques!». El rigor lògic també ajuda a fer volar altres matèries sobre les ales de les matemàtiques.

A la vida quotidiana

PB: Hi ha un àmbit en especial que ha conegut darrerament avenços espectaculars amb base matemàtica: la biomedicina. Mètodes de diagnosi, de tractament i d’intervencions quirúrgiques han experimentat un canvi espectacular els darrers anys, i tot això és un reflex de la integració de descobertes científiques i tecnològiques. Avui, es fan intervencions quirúrgiques en què s’utilitzen sistemes de visió per ordinador, amb projeccions en 3D, que permeten veure la textura del teixits. Gràcies a molts anys d’estudis geomètrics podem tenir aquestes imatges tan nítides. Tota la tècnica digital es basa en processos numèrics de codificació i descodificació. Els ordinadors només treballen amb codis numèrics. Un partit de futbol o una òpera transmesa per televisió digital és una successió de zeros i uns, convenientment tractada.

JP: Les matemàtiques es troben fins i tot de manera inesperada. Pensem en la geometria projectiva. Al principi, era un model d’interpretació de la realitat que van descobrir els pintors i no pas els matemàtics. Va sorgir de la necessitat de representar una realitat de tres dimensions en un pla. Però aquest canvi en la tècnica pictòrica té, de fet, un llenguatge matemàtic. És a dir, per poder expressar el canvi, hem de passar pel camí de les matemàtiques. Nosaltres som discursius, no intuïtius. El cervell no coneix les coses de cop i volta, sinó de manera progressiva. Avancem amb l’error, després d’equivocar-nos, i aquest procés discursiu pel qual avancem també té una part de llenguatge matemàtic.

AA: Les matemàtiques són tan fonamentals que sovint es fan invisibles. És la paradoxa de la rellevància. Les coses més  importants no les veu l’usuari. Els fonaments de les cases estan ocults sota terra. Una feina important dels matemàtics i de la societat seria intentar fer emergir les matemàtiques que hi ha a l’arrel de tot. Si poséssim de manifest aquest fet, animaríem més els joves a treballar amb la matemàtica i faríem apostes de futur més ambicioses.

Pilar Bayer, Josep Pla i Anton Aubanell

Jocs i càlculs

PB: Quan entres a reflexionar dins el món matemàtic, és un goig. Pensem-ho: les matemàtiques són difícils, no estan ben considerades i no tenen prestigi social, però a la Facultat sempre tenim alumnes! Els matemàtics formen part dels professionals més feliços que conec. Sempre intenten estudiar, treballar en la seva feina, comprendre, treure hores d’on sigui. Poder treballar és la satisfacció màxima. L’alumnat s’ho passa bé, però d’una manera reflexiva. El perill de les matemàtiques, si es prenen  seriosament, és que són extremadament divertides. T’hi quedes atrapada i tens la sensació que estàs en un altre món. Són difícils perquè les matemàtiques s’han de fer en aquest món, que és un món on, precisament, la majoria de la gent es dedica a una altra cosa.

JP: Per a qui no li agraden les matemàtiques, fer càlculs és un turment. Però si t’atrapen, les matemàtiques no et deixen escapar. És com fer una feina que t’agrada, sempre hi trobes el sentit de la gratificació. Quan resols un problema, assoleixes una gran satisfacció personal. Però a la vida docent, si el professor no és prou hàbil per plantejar problemes i situacions atractives, l’alumnat es perd. És una disciplina que té una part solitària però la dimensió col·lectiva la veus en els grups d’estudiants que treballen en equip per resoldre problemes.

AA: El joc pot ser molt seriós en matemàtiques. Les fronteres entre joc i raonament lògic o resolució de problemes són difoses en segons quins nivells. En el joc hi ha repte, lògica, intuïció i satisfacció pels objectius assolits. Aquests ingredients també hi són en el treball matemàtic. Les matemàtiques poden fer gaudir del repte i del goig intel·lectual d’aprendre, d’entendre, de resoldre. Si aconseguíssim que l’alumnat de secundària tingués el seu moment de glòria matemàtica, resolent un problema, un trencaclosques, un enigma geomètric, un quadrat màgic, etc., la visió que tindria de les matemàtiques canviaria per a tota la vida. Aquí rau el problema de la imatge social de les matemàtiques. Moltes persones mai no han gaudit d’aquest minut de glòria i del goig de dir: «Ho he entès, ho he resolt!»


1 comentari

Matemàtiques amb Anton Aubanell: Marta Sanz

Matemàtiques amb Anton Aubanell

L’emissió del dia 25 de juny de l’espai Matemàtiques amb Anton Aubanell, secció fixa del programa Extraradi (COMRàdio), va comptar, a banda dels col·laboradors habituals, amb la participació d’una convidada d’excepció: Marta Sanz-Solé.

La Doctora Sanz-Solé és Presidenta de la European Mathematical Society (EMS), professora del Departament de Probabilitat, Lògica i Estadística i investigadora principal del grup de recerca de Processos estocàstics de la Universitat de Barcelona (UB).

Durant la conversa, Marta Sanz va parlar del 6è Congrés Europeu de Matemàtiques, (Cracòvia, 2-7 de juliol), que comptarà amb uns 1.000 participants, definint-lo com una “fira de mostres de matemàtiques”, en la qual s’apunten les tendències actuals. L’efecte de les retallades; la presència de dones en la disciplina —de la paritat del grau a la desigualtat creixent a mesura que s’ascendeix als llocs de responsabilitat—; el boicot de la comunitat científica als grans editors i l’ensenyament de les matemàtiques, van centrar la resta de la conversa. Si us la vau perdre, podeu recuperar-la ara:

Reproduir

Anton Aubanell és director de Creamat i professor del Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi de la Universitat de Barcelona, i col·labora habitualment amb el programa.

Trobareu diverses obres d’Anton Aubanell i de Marta Sanz al catàleg.


Deixa un comentari

Matemàtiques amb Anton Aubanell: Les primeres xifres i Anamorfismes

Matemàtiques amb Anton Aubanell

Avui recuperem les dues darreres emissions de l’espai Matemàtiques amb Anton Aubanell, del programa Extraradi de COMRàdio.

Les primeres xifres (22/04/2012)

Segur que cada dia llegiu un munt de nombres i probablement també n’escriviu forces. Però d’on surten aquests símbols que ens resulten tan familiars? Ens ho expliquen l’Anton Aubanell i en Sergi del Moral, membres del CREAMAT.

Reproduir

Anamorfismes (22/05/2012)

L’Anton Aubanell i el Sergi del Moral, del CREAMAT, ens parlen d’un tema tan original com sorprenentment matemàtic: els anamorfismes. Imatges o objectes que només es poden entendre des d’un determinat punt de vista, literal! Voleu saber-ne més?

Reproduir

Anton Aubanell és director de Creamat i professor del Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi de la Universitat de Barcelona, i col·labora habitualment amb el programa.

Trobareu diverses obres d’Anton Aubanell al catàleg.