Recuperem el diàleg a tres bandes que va publicar La Universitat l’any 2007, amb tres matemàtics de la Facultat: Pilar Bayer Isant, Josep Pla i Carrera i Anton Aubanell Pou.

• La Universitat, núm. 41, 2007. Pp. 23-27.

Pilar Bayer, Josep Pla i Carrera i Anton Aubanell Pou

Els alumnes que han fet enguany les proves d’accés a la universitat han obtingut una mitjana de 4,7 en l’examen de matemàtiques, la nota més baixa comparada amb la resta d’assignatures de les quals s’examinaven. Aquest suspens reforça la idea comuna que les matemàtiques són la bête noire de molts estudiants. Però també representen una disciplina atractiva que desperta vocacions i crea espais de creativitat i llibertat intel·lectuals. «Les matemàtiques no només tenen la veritat, sinó la bellesa suprema» deia el filòsof Bertrand Russell. Són la base de la gran societat tecnològica en què vivim, i tenen un llenguatge propi i diferent que és part de la ciència i la cultura des de l’origen de les societats humanes. Però, són realment tan difícils, les matemàtiques? Quina és la imatge social del matemàtic? Ens ensenyen bé les matemàtiques a l’escola? Totes aquestes preguntes afloren de tant en tant en els mitjans de comunicació. Més enllà de l’actualitat més immediata, en aquest diàleg, tres matemàtics reflexionen sobre el món d’aquesta disciplina i el paper que assumeix en la cultura i en la vida quotidianes.

Pilar Bayer Isant (Barcelona, 1946)

Catedràtica d’Àlgebra de la UB des del 1982. Especialista en teoria de nombres, les seves publicacions versen sobre funcions zeta, la teoria de Galois, les equacions diofàntiques, corbes el·líptiques i corbes de Shimura. Ha dirigit deu tesis doctorals i ha estat investigadora principal de nombrosos projectes de recerca. És acadèmica de la Reial Acadèmia de Ciències Exactes, Físiques i Naturals i membre de l’Institut d’Estudis Catalans. Medalla Narcís Monturiol (1998) al mèrit científic i tecnològic de la Generalitat de Catalunya, va ser nomenada Professora Emmy-Noether per la Universitat Georg August de Gotinga (2004).

Josep Pla Carrera (Sant Feliu de Guíxols, 1942)

Professor emèrit del Departament de Probabilitat, Lògica i Estadística, centra l’activitat investigadora en l’estudi, l’ensenyament i la recerca en lògica algebraica i història de la matemàtica. Membre numerari de la Reial Acadèmia de Doctors de Barcelona, del Centre d’Estudis d’Història de les Ciències (CEHIC) i professor honoris causa de la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la UPC. És autor de diverses publicacions de caràcter divulgatiu sobre el món de les matemàtiques, com ara els títols Axiomes alterna tius de la teoria axiomàtica de con­ junt (Premi Ferran Sunyer i Balaguer, 1992) o la novel·la Damunt les es­patlles dels gegants (Premi de Literatura Científica FCRI, 1998).

Anton Aubanell Pou (Malgrat de Mar, 1954)

Professor associat de Didàctica de les Matemàtiques a la Facultat de Matemàtiques de la UB i catedràtic de Matemàtiques a l’IES Sa Palomera de Blanes. Del 1977 al 1982, després de llicenciar-se a la UB, va impartir classes d’equacions diferencials i de càlcul numèric a la Facultat de Matemàtiques. És expert en materials manipulatius i activitats experimentals aplicades a l’educació matemàtica, coautor del llibre Eines bàsiques de càlcul numèric, editat pel Servei de Publicacions de la UAB i premiat amb un dels guardons de l’European Science Teaching Awards 2003 en el marc de la Setmana Europea de la Ciència per l’experiència didàctica Geometria amb bombolles de sabó.

Són difícils, les matemàtiques?

Pilar Bayer: Les matemàtiques són difícils, certament, però jo no tinc la percepció que l’aprenentatge presenti dificultats insuperables perquè treballo amb estudiants de la Facultat de Matemàtiques i a ells els agraden. Sovint em pregunto: «Per què la societat en té aquesta percepció tan negativa?» El professorat de matemàtiques de secundària està fent molt bona feina, però, per tal que l’ensenyament de les matemàtiques millori a casa nostra cal, també, augmentar-ne l’apreciació social i afavorir-ne les condicions d’estudi. Per aprendre matemàtiques no n’hi ha prou amb les hores de docència, ja que l’experiència matemàtica no s’adquireix a través d’una altra persona. Quan els alumnes tornen a casa seva després de les classes, necessiten temps i silenci per estudiar. Sovint, però, és difícil que treballin en ambients escaients que els permetin madurar uns coneixements mig adquirits. Les matemàtiques que s’ensenyen a l’escola, a l’institut o a la universitat s’han d’acompanyar d’un treball individual.

Josep Pla: Jo distingiria entre les dificultats de les matemàtiques, i el fet que molts estudiants que són bons en matemàtiques no acabin fent la llicenciatura. Al final, trien altres ensenyaments (Periodisme, Enginyeria, etc.). De fet, no sé si és que les matemàtiques són difícils d’entendre, o és que no sabem «vendre» als alumnes més motivats que les matemàtiques són una professió digna. Potser no tenen un perfil laboral tan rellevant com altres professions, ni sous elevats, però sí que val la pena estudiar-les. I això és el que no sabem fer arribar a l’alumnat, a la societat. Els pares amb fills amb capacitat per a les matemàtiques demanen preocupats: «I no seria millor que fes alguna enginyeria?». Sembla que un enginyer és algú a la societat, però en canvi, en la percepció de l’imaginari col·lectiu, un matemàtic és com si fos fum. No fa ponts, no escriu obres literàries, no pinta quadres. Quina és realment la feina d’un matemàtic?

Anton Aubanell: És cert que les matemàtiques tenen fama de difícils entre l’alumnat. Quan s’inicia el curs i els mitjans de comunicació pregunten als nois i noies per l’assignatura que més els costa, la resposta sol ser «matemàtiques!». Però l’experiència real de les aules és ben diferent: els alumnes poden divertir-se molt fent matemàtiques! És una matèria que requereix abstracció i a la qual cal dedicar-hi temps, paciència, sensibilitat. Igual que, per exemple, tocar el piano. Cal disposar de temps per fer problemes assaborint-ne tot l’encant. Sense temps, de vegades, responem a preguntes que l’alumne encara no s’ha plantejat o caiem en esquemes repetitius i mecànics, i aquesta no és la millor recepta perquè les matemàtiques agradin als estudiants de secundària. Pot fer-se un bon servei a l’educació matemàtica escolar des de fora de l’escola, des de la societat i els mitjans de comunicació mostrant una imatge diferent de les matemàtiques. I aquest ajut extern no sempre el tenim.

El llenguatge formal

PB: Valdria la pena que la població conegués el llenguatge matemàtic elemental. És una qüestió d’orientació de  l’aprenentatge. També seria interessant conèixer el llenguatge de la música: ser capaços de llegir partitures. Els llibres de divulgació científica i alguns articles de premsa serien molt més entenedors si s’acompanyessin de fórmules matemàtiques (la qual cosa, ara com ara, està gairebé prohibida en el món editorial). La gent formada hauria de ser capaç de llegir i comprendre fórmules senzilles. L’avenç de les matemàtiques es deu en bona part a intents de resolució de problemes concrets, del dia a dia. El seu llenguatge no és aliè al món que ens envolta. Trobem fàcilment exemples en la vida quotidiana que condueixen a la noció de límit, d’integral, de deriva­da, etc.

JP: Si un nen vol cantar, li ensenyen el mínim de solfeig. I si vol pintar, fa classes per perfeccionar la tècnica. La matemàtica no és gaire diferent de tot això. Pots tenir dots naturals, una certa predisposició, però si no vas a l’escola, l’esforç és inútil. Has de fer «dits» amb les matemàtiques, «anar a estudi», una expressió que s’ha perdut. Tant és que estudiïs molt a classe si finalment tu mateix no arribes a assolir aquest coneixement com a cosa individual. Això és el que passa amb els esportistes, però els matemàtics no som mediàtics. I un noi o una noia, amb una mica d’aptitud per a les matemàtiques, si dediqués a fer matemàtiques les hores que Fernando Alonso dedica a entrenar-se, arribaria a ser un bon matemàtic. La geometria és un bon camí intuïtiu per apropar-se al formalisme matemàtic, però l’hem foragitada dels plans d’estudis. És bo veure un teorema, un resultat, abans de demostrar-lo, i la geometria dóna un suport físic formal abans de l’abstracció de l’àlgebra.

AA: El llenguatge formal avui té menys presència en l’educació secundària que temps enrere. En pro de la funcionalitat, de vegades, hem sacrificat aspectes importants. A secundària, sovint s’ha dit que «el que fem a classe ha d’estar contextualitzat o ser d’aplicació immediata». Això és veritat però no hauria d’excloure altres aspectes genuïns de la matemàtica. És com fixar-nos tan sols en el prêt-à-porter i oblidar-nos de l’alta costura. Podem anar «picotejant» aplicacions en vols curts però no hem d’oblidar que les matemàtiques són una àliga que vola alt i que té una amplíssima visió de camp a través del seu poder per construir models generals, per bastir raonaments i per expressar-se amb precisió i rigor.

Com estructuren la ment

PB: D’entrada, una persona que es dedica a les matemàtiques no està més preparada que la resta de persones per fer front als problemes de la vida quotidiana. Els problemes de la vida i, sovint, els de les altres ciències, són més difícils de resoldre que els problemes matemàtics. Es pot dir que les matemàtiques només tracten la resolució de les qüestions més senzilles. Per estudiar un problema pràctic des d’un punt de vista matemàtic cal fer-ne un model que el simplifiqui.  Cal diferenciar entre el que és important i el que és secundari. Cal prioritzar i assignar un pes a cadascuna de les moltes variables que hi intervenen. Cal aprendre que les solucions no solen ser úniques, que pot fins i tot no haver-n’hi, però que es poden optimitzar, o aproximar, segons el cas. Les matemàtiques són molt formatives perquè ens mostren les nostres limitacions i fan palesos els nostres errors. Els matemàtics aprenen a equivocar-se: l’elecció d’un model pot no ser encertada, pot no aplicar-se bé, es poden haver fet errors de càlcul. Però les matemàtiques ensenyen, també, que tots els errors a la llarga es corregeixen si s’hi treballa prou. Quan veig persones que actuen com si no s’equvoquessin mai, penso que els hauria anat bé fer una mica de matemàtiques.

JP: El meu pare volia que jo fes Física, per a ell era la ciència més completa. Però jo volia fer Matemàtiques. Em va dir: «Bé, però no et serviran per resoldre cap problema de la vida». Per al pare, quan calia resoldre problemes complexos amb moltes variables, la lògica matemàtica no era la resposta més idònia. La realitat de la vida no la pots modelitzar, i potser la física et donava una visió més àmplia dels fenòmens que provenen de situacions externes, però les matemàtiques estructuren el cervell d’una manera fantàstica, i t’ajuden a resoldre situacions de la vida real amb una clarividència que trobes a faltar en altres coneixements.

AA: Les matemàtiques aporten molts elements en la formació del pensament: ordre, cura per l’argumentació, gust pel rigor, enteniment amb la representació simbòlica, capacitat d’aprendre de situacions d’errors. Poques disciplines eduquen tan bé l’atenció i la tenacitat de l’alumnat. Si eliminéssim les matemàtiques del currículum dels estudiants, es perdria un espai importantíssim en la seva formació, i valors que no poden aportar altres disciplines. Ens mancaria una eina imprescindible per a altres ciències. No són cap espai rígid, tancat. Representen un lloc de creativitat, invenció, imaginació, un espai de llibertat: mai no s’és tan lliure com quan s’està resolent un problema i es pot provar-ho tot. I això és ben bonic.”

Sense matemàtiques no hi ha ciència

PB: Les matemàtiques proporcionen unes ulleres per mirar la natura. El seu paper és indiscutible en el progrés de la ciència. Però els seus èxits només són apreciables per una part de la societat quan es tradueixen en avenços tècnics. El que hi ha  primerament és un raonament abstracte, després es passa a la comprensió de fenòmens i, finalment, a un resultat aplicable. Però quan gaudim d’un avenç tècnic, aleshores ja ens tornem a oblidar de l’aportació inicial de les matemàtiques. Donem per fet que ens podem comunicar per mòbil de manera segura, per exemple, però no reflexionem sobre les bases científiques i  tecnològiques que ho fan possible. Quan els estris funcionen, les matemàtiques es tornen invisibles. En el millor dels casos, els usuaris es fixen en la part informàtica. Qui es podria imaginar un dia sense matemàtiques? No funcionaria res!

JP: Com deia la Pilar: «Per què volen els avions?» Res no funcionaria sense les matemàtiques. Els avions no volarien pas, però un cop ho fan, ens oblidem del paper de les matemàtiques. I si algú mira d’explicar-nos-ho, el que fa és parlar-nos de la part mecànica i no pas de la part matemàtica. Jo proposaria dos minuts diaris de reflexió sobre el valor de les matemàtiques. L’altre dia, per exemple, en una llibreria vaig fullejar un llibre força voluminós que tractava de la civilització occidental. No hi havia cap referència a les matemàtiques. Ni Gauss, ni Fermat, ni cap matemàtic rellevant. Qui llegeixi aquest llibre, pensarà que la civilització occidental no ha passat pel món de les matemàtiques? El vaig deixar a la botiga, el llibre.

AA: Sense les matemàtiques, el mètode científic probablement no passaria de la mera observació a la construcció de teories, ni de les teories a les aplicacions. Podria haver-hi observació de fenòmens i certa inducció, però difícilment hi hauria ciència. Per fer ciència, cal aplicar tècniques quantitatives, processos de càlcul i control d’errors, tècniques estadístiques, etc. La ciència no podria abordar determinats conceptes sense usar models matemàtics i el seu llenguatge simbòlic. Fins i tot, als instituts de secundària, a vegades, els professors de física ens avisen: «Els alumnes no saben fer tal cosa perquè els falten les eines matemàtiques!». El rigor lògic també ajuda a fer volar altres matèries sobre les ales de les matemàtiques.

A la vida quotidiana

PB: Hi ha un àmbit en especial que ha conegut darrerament avenços espectaculars amb base matemàtica: la biomedicina. Mètodes de diagnosi, de tractament i d’intervencions quirúrgiques han experimentat un canvi espectacular els darrers anys, i tot això és un reflex de la integració de descobertes científiques i tecnològiques. Avui, es fan intervencions quirúrgiques en què s’utilitzen sistemes de visió per ordinador, amb projeccions en 3D, que permeten veure la textura del teixits. Gràcies a molts anys d’estudis geomètrics podem tenir aquestes imatges tan nítides. Tota la tècnica digital es basa en processos numèrics de codificació i descodificació. Els ordinadors només treballen amb codis numèrics. Un partit de futbol o una òpera transmesa per televisió digital és una successió de zeros i uns, convenientment tractada.

JP: Les matemàtiques es troben fins i tot de manera inesperada. Pensem en la geometria projectiva. Al principi, era un model d’interpretació de la realitat que van descobrir els pintors i no pas els matemàtics. Va sorgir de la necessitat de representar una realitat de tres dimensions en un pla. Però aquest canvi en la tècnica pictòrica té, de fet, un llenguatge matemàtic. És a dir, per poder expressar el canvi, hem de passar pel camí de les matemàtiques. Nosaltres som discursius, no intuïtius. El cervell no coneix les coses de cop i volta, sinó de manera progressiva. Avancem amb l’error, després d’equivocar-nos, i aquest procés discursiu pel qual avancem també té una part de llenguatge matemàtic.

AA: Les matemàtiques són tan fonamentals que sovint es fan invisibles. És la paradoxa de la rellevància. Les coses més  importants no les veu l’usuari. Els fonaments de les cases estan ocults sota terra. Una feina important dels matemàtics i de la societat seria intentar fer emergir les matemàtiques que hi ha a l’arrel de tot. Si poséssim de manifest aquest fet, animaríem més els joves a treballar amb la matemàtica i faríem apostes de futur més ambicioses.

Jocs i càlculs

PB: Quan entres a reflexionar dins el món matemàtic, és un goig. Pensem-ho: les matemàtiques són difícils, no estan ben considerades i no tenen prestigi social, però a la Facultat sempre tenim alumnes! Els matemàtics formen part dels professionals més feliços que conec. Sempre intenten estudiar, treballar en la seva feina, comprendre, treure hores d’on sigui. Poder treballar és la satisfacció màxima. L’alumnat s’ho passa bé, però d’una manera reflexiva. El perill de les matemàtiques, si es prenen  seriosament, és que són extremadament divertides. T’hi quedes atrapada i tens la sensació que estàs en un altre món. Són difícils perquè les matemàtiques s’han de fer en aquest món, que és un món on, precisament, la majoria de la gent es dedica a una altra cosa.

JP: Per a qui no li agraden les matemàtiques, fer càlculs és un turment. Però si t’atrapen, les matemàtiques no et deixen escapar. És com fer una feina que t’agrada, sempre hi trobes el sentit de la gratificació. Quan resols un problema, assoleixes una gran satisfacció personal. Però a la vida docent, si el professor no és prou hàbil per plantejar problemes i situacions atractives, l’alumnat es perd. És una disciplina que té una part solitària però la dimensió col·lectiva la veus en els grups d’estudiants que treballen en equip per resoldre problemes.

AA: El joc pot ser molt seriós en matemàtiques. Les fronteres entre joc i raonament lògic o resolució de problemes són difoses en segons quins nivells. En el joc hi ha repte, lògica, intuïció i satisfacció pels objectius assolits. Aquests ingredients també hi són en el treball matemàtic. Les matemàtiques poden fer gaudir del repte i del goig intel·lectual d’aprendre, d’entendre, de resoldre. Si aconseguíssim que l’alumnat de secundària tingués el seu moment de glòria matemàtica, resolent un problema, un trencaclosques, un enigma geomètric, un quadrat màgic, etc., la visió que tindria de les matemàtiques canviaria per a tota la vida. Aquí rau el problema de la imatge social de les matemàtiques. Moltes persones mai no han gaudit d’aquest minut de glòria i del goig de dir: «Ho he entès, ho he resolt!»