Blog de la Biblioteca de Matemàtiques i Informàtica


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Trenta-sisè repte matemàtic de El País: Unes mitjanes senceres

35 repte matemàtic de El PaísEl trenta-sisè repte matemàtic que proposa el diari El País per commemorar el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) és el primer proposat per un lector, Pedro Carrión Rodríguez de Guzmán, professor de l’IES Alcántara (Alcantarilla, Múrcia).

El termini per respondre s’acaba a les 00:00 de dimarts 22 de novembre. Per fer-ho. heu d’enviar un missatge a l’adreça problemamatematicas@gmail.com. Entre els encertants se sortejarà una una biblioteca matemàtica completa.

Enunciat

La media aritmética de dos números se define como A(a,b)=(a+b)/2. Por ejemplo, A(3,7)=5

La media geométrica de dos números se define como G(a,b)=Raíz cuadrada de (axb). Por ejemplo, G(4,5)=Raíz (20)

Por último, la media armónica de dos números se define como H(a,b)=2/(1/a+1/b) que se puede simplificar operando algebraicamente como H(a,b)=2ab/(a+b). Por ejemplo, H(3,7)=2x3x7/ (3+7)= 4’2

El desafío de esta semana consiste en encontrar el menor primo p mayor que 100 para el que existe otro número entero distinto q, éste no necesariamente primo, de manera que las medias aritmética, geométrica y armónica de p y q sean números naturales.

Se considerarán correctas todas las soluciones que den valores válidos para p y q, pero, como siempre, nos gustaría que nos dijeseis cómo los habéis encontrado.


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Solució al trenta-cinquè repte matemàtic de El País

S’ha donat a conèixer la solució al repte matemàtic que plantejava dijous passat Marta Macho Stadler, professora titular de Geometria a la Universitat del País Basc (UPV/EHU), per commemorar el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

S’han rebut dins del termini previst 485 respostes, de les quals el 90% eren correctes. Podeu consultar l’explicació íntegra al web del diari.


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Trenta-cinquè repte matemàtic de El País: Un rectangle de quadrats

Marta Macho Stadler, professora titular de Geometria a la Universitat del País Basc (UPV/EHU), presenta el trenta-cinquè repte amb el qual El País celebra el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Per participar-hi, heu d’enviar les respostes abans de les 00:00 de dimarts 15 de novembre a problemamatematicas@gmail.com. Entre els encertants se sortejarà una biblioteca matemàtica completa.

Enunciat

Tenemos un rectángulo R que está subdividido en cuadrados como muestra la figura. Diréis que en la figura no todo son cuadrados, y es cierto. Lo que ha pasado es que la figura se ha deformado y los cuadrados se ven como rectángulos, pero sabemos que las alineaciones de los cuadrados que forman originalmente R son las mismas que las de los rectángulos de la figura. Sabemos también que el cuadrado rojo mide 3 cm de lado.

El desafío consiste en averiguar los lados de cada uno de los cuadrados y las medidas del rectángulo R. La solución debe incluir una lista de 12 números que sea los lados de los 12 cuadrados cuyos lados no sabemos y, además, las medidas del rectángulo.

Nos gustaría saber cómo habéis llegado al resultado, pero se considerarán válidas y entrarán en el sorteo todas las respuestas que den los números correctos.


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Solució al trenta-quatrè repte matemàtic de El País

Dimarts es va publicar la solució al repte matemàtic que plantejava Vadym Paziy, estudiant de Doctorat del Grup de Física Nuclear de la Universitat Complutense de Madrid, la setmana passada.

S’han rebut dins del termini hàbil 635 respostes, un 65% de les quals eren correctes.

Podeu llegir l’explicació completa a la pàgina de la solució.


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Trenta-quatrè repte matemàtic de El País: Dos cuquets i una oreneta voraç

Vadym Paziy, estudiant de Doctorat del Grup de Física Nuclear de la Universitat Complutense de Madrid i antic guia de la Olimpíada Matemàtica Internacional, celebrada el 2008 a Madrid, presenta el trenta-quatrè repte amb el qual El País celebra el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Cal enviar les respostes abans de les 00:00 de dimarts 8 de novembre problemamatematicas@gmail.com. Entre els encertants se sortejarà una biblioteca matemàtica completa.

Enunciat

Dos hermanos gusanitos de seda han discutido quién de los dos llega antes a casa desde un punto que está en la base de una colina. La colina tiene forma de cono recto con una base circular de 1 metro de radio y una ladera de longitud 2 metros, como se muestra en este dibujo. La casa se encuentra en el punto diametralmente opuesto a aquel en el que se encuentran los gusanitos. Uno de los gusanitos es más astuto y sabe calcular el camino más corto, mientras que su hermano es más alegre y escoge el primer camino que encuentra, la base del cono.

Sin embargo, ninguno de los dos sabe que en su casa les está esperando una golondrina muerta de hambre que se comerá al primero que llegué. En el instante que el gusanito alegre echa a andar el astuto se pone a calcular la trayectoria óptima, en lo que emplea exactamente 3 minutos. Una vez la tiene empieza su camino. Suponiendo que los dos gusanos se desplazan con la misma velocidad de 1 mm/s, el desafío consiste en determinar quién será la víctima de la golondrina ¿el gusanito alegre o el gusanito astuto?

Para que la respuesta sea considerada correcta habrá que indicar no sólo el gusanito-víctima, sino también los cálculos que han llevado a la conclusión.


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Solució al trenta-tresè repte matemàtic de El País

El dia de Tots Sants es va publicar la solució al repte que plantejava Rafael Tesoro, llicenciat i màster en Matemàtiques per la Universitat Autònoma de Madrid, la setmana passada.

S’han rebut en total 193 respostes dins del termini fixat, el 62% de les quals correctes. Podeu llegir tots els detalls de la solució al web del diari.


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Trenta-tresè repte matemàtic de El País: atzarosa taba

Rafael Tesoro, llicenciat i màster en Matemàtiques per la Universitat Autònoma de Madrid, presenta el trenta-tresè repte matemàtic amb el qual El País celebra el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). Podeu participar-hi i enviar les vostres respostes abans de les 00:00 de dimarts 1 de novembre a l’adreça de correu electrònic problemamatematicas@gmail.com. Com sempre, entre els encertants se sortejarà una biblioteca matemàtica completa.

Enunciat:

Lanzamos repetidas veces una moneda que no esté trucada y anotamos 1 cuando sale cara y 0 cuando sale cruz. Conseguimos así una serie de cifras binarias o bits que es aleatoria y no tiene sesgo. Por ejemplo, yo he conseguido una que empieza así:

0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

Decimos que la serie no tiene sesgo porque en cada tirada la probabilidad de 1 es igual a la probabilidad de 0. Decimos que la serie es aleatoria porque nunca se puede adivinar el resultado que saldrá en la siguiente tirada, a diferencia de lo que, por ejemplo, pasa con estas otras series:

0 1 0 1 0 1 0 1….

0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1…

dentro de las cuales detectamos un patrón con el que, si conocemos unos cuantos bits de la serie, podemos adivinar cuál será el siguiente bit. (Apostaríamos tranquilos a que las dos últimas series no han sido obtenidas lanzando una moneda).

¿Para qué sirven las series de bits aleatorias y sin sesgo? Por ejemplo, para generar números aleatorios del tipo que se usan para sortear el ganador en cada desafío matemático de EL PAÍS. Pero esta semana no tenemos ninguna moneda. ¿Que podemos hacer?… Por suerte, hemos conseguido unas tabas.

La taba es un hueso que los mamíferos tenemos en el pie. Las de los corderos se usan para jugar desde tiempo inmemorial: aparecen en estatuas romanas y también en el cuadro Juegos de niños de Brueghel el Viejo. Los habitantes de algunos lugares de España mantienen una ancestral tradición de reunirse para apostar usando tabas. Por ejemplo, estas que me han prestado vienen de Colmenar Viejo, cerca de Madrid, en donde se juega con ellas los días de San Andrés y de Santa Lucía.

Cualquier taba está cargada porque no es simétrica respecto a su centro de gravedad y, aunque tiene cuatro formas distintas de caer, nosotros tendremos en cuenta dos posibles resultados. Vamos a lanzar repetidas veces una misma taba y anotamos 1 cuando queda hacia arriba la parte hundida del hueso (pintada de negro en las que yo tengo aquí) y anotamos 0 si la taba cae de cualquier otra forma. La taba tiene carga, así que -casi seguro- obtendremos una serie aleatoria de bits con sesgo. Notemos que los tamaños y las formas de las tabas varían y por eso cada taba tiene su propia carga, distinta de las demás.

El desafío de esta semana es el siguiente: a partir de la serie aleatoria de bits conseguida lanzando repetidamente una misma taba, obtener una serie de bits -que necesariamente será más corta que la serie de partida- que no se pueda distinguir de la que produce una moneda sin trucar, es decir: obtener una serie de bits aleatoria y sin sesgo.

La solución a este desafío debe incluir una breve explicación de las operaciones y los pasos que llevan desde la serie de bits de la taba hasta una serie aleatoria de bits sin sesgo. La solución ha de funcionar usando una única taba, que puede ser cualquiera: por ejemplo, una de las tres que yo tengo aquí u otra taba que vosotros tengáis.


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Solució al trenta-dosè repte matemàtic de El País

Ja hi ha solució al trenta-dosè repte matemàtic que plantejava Sofía Nieto, estudiant de doctorat de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), la setmana passada.

S’han rebut 245 respostes dins del termini fixat i només el 25% s’han considerat correcta i completament argumentades.

Podeu llegir la solució completa i tota l’argumentació al web de El País.


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Trenta-dosè repte matemàtic de El País: partícules en moviment

Sofía Nieto, estudiant de doctorat de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) presenta el trenta-dosè repte matemàtic amb el qual El País commemora el centenari de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Podeu enviar la resposta abans de les 00:00 de dimarts 25 d’octubre a problemamatematicas@gmail.com. Entre tots els encertants se sortejarà una biblioteca matemàtica completa.

Enunciat:

Tenemos una caja con forma de prisma recto de altura 40 cm y base un triangulo equilátero de lado 60 cm. Introducimos en ella 5 partículas, que hay que pensar que son como puntos, que se mueven al azar por la caja.

El desafío consiste en demostrar que, en cualquier momento que observemos las partículas dentro de la caja, habrá al menos dos partículas que disten entre sí estrictamente menos de 50 cm.